Question

已知函数f（x）=x²+ax+2ln（x-1），a是常数．
（1）证明曲线y=f（x）在点（2，f（2））的切线经过y轴上一个定点；
（2）若f′（x）＞（a-3）x²对∀x∈（2，3）恒成立，求a的取值范围；
（参考公式：3x³-x²-2x+2=（x+1）（3x²-4x+2））
（3）讨论函数f（x）的单调区间．

Answer

（1）先根据题意求出切点与函数的导数，再结合导数的几何意义求出切线的斜率，进而求出切线的方程．
（2）先把问题转化为恒成立，然后求出不等式右边的最小值即可求出实数a的取值范围；
（3）在函数 的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，确定 的单调区间．若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论．
【解析】
（1）f（2）=2a+4，，…（1分）   f′（2）=6+a…（2分），
曲线y=f（x）在点（2，f（2））的切线为y-（2a+4）=（6+a）（x-2）…（3分），
当x=0时，由切线方程得y=-8，所以切线经过y轴上的定点（0，-8）…（4分）．
（2）由f′（x）＞（a-3）x2得
…（5分），
对∀x∈（2，3），x2-1＞0，
所以
=…（6分），
设，则…（7分）
g（x）在区间（2，3）单调递减…（8分），
所以，a的取值范围为…（9分）．
（3）函数f（x）=x2+ax+2ln（x-1）的定义域为（1，+∞），
=…（10分）．
若a≥-6，则f′（x）≥0，f（x）在定义域（1，+∞）上单调增加…（11分）；
若a＜-6，解方程得
，…（12分），
x1＞x2＞1，当x＞x1或1＜x＜x2时，f′（x）＞0；
当x2＜x＜x1时，f′（x）＜0…（13分），
所以f（x）的单调增区间是（1，x2）和（x1，+∞），
单调减区间是[x2，x1]（区间无论包含端点x1、x2均可，但要前后一致）…（14分）