Question

已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥CD，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD且，M为PB中点．
（1）证明：平面PAD⊥平面PCD；
（2）求AB与平面PAC所成角；
（3）求二面角A-MC-B的余弦值．

Answer

以A为坐标原点AD长为单位长度，建立空间直角坐标系，
（Ⅰ）求出，计算，推出AP⊥DC．，然后证明CD垂直平面PAD，即可证明面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求出以及平面PAC的法向量，计算cos＜，＞的值，即可求得结果．
（Ⅲ）在MC上取一点N（x，y，z），则存在使，说明∠ANB为所求二面角的平面角．求出，计算
即可取得结果．
【解析】
因为PA⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A为坐标原点AD长为单位长度，
如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为
A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），
D（1，0，0），P（0，0，1），M
（Ⅰ）证明：因为，
故，所以AP⊥DC．
又由题设知AD⊥DC，且AP与与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC⊥面PAD．
又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD
（Ⅱ）【解析】
因=（0，2，0），=（0，0，1），=（1，1，0）；
设平面PAC的法向量为=（e，f，g）
∵•=0，=0⇒g=0，e+f=0⇒=（1，1，0）
∴cos＜，＞===．
∴AB与平面PAC所成角：45°；
（Ⅲ）【解析】
在MC上取一点N（x，y，z），
则存在使，，
∴x=1-λ，y=1，z=λ．
要使AN⊥MC，只需即，
解得．可知当时，N点坐标为，能使．
，
有由得AN⊥MC，BN⊥MC．所以∠ANB为所求二面角的平面角．
∵，
∴．
故所求的二面角为arccos．