Question

如图，在△OAB中，已知，∠AOB=90°，单位圆O与OA交于C，，P为单位圆O上的动点．
（1）若，求λ的值；
（2）记的最小值为f（λ），求f（λ）的表达式及f（λ）的最小值．

Answer

（1）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴建立直角坐标系，记∠POB=α，由得，从而可求
法1：（2）由=（2-2λ-cosα，2λ-sinα）可得f（λ）=，结合二次函数的性质可求
法2：（2）≥当且仅当P在线段OD上等号成立可得f（λ）=下同法一
【解析】
（1）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴建立直角坐标系
记∠POB=α则P（cosα，sinα），A（2，0），B（0，2），C（1，0）
由O
得16λ2-4λ=0⇒λ=0或λ=（5分）
（2）法1：=（2-2λ-cosα，2λ-sinα）
≥16λ2-8λ+5-
∴f（x）=-1（4分）
∵16λ2-8λ+4=16（λ-）2+3≥3
∴f（x）min=f（）=-1（2分）
法2：≥当且仅当P在线段OD上等号成立
∴f（λ）=（4分）
∵16λ2-8λ+4=16（λ-）2+3≥3
∴f（x）min=f（）=-1（2分）