Question

过双曲线-=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F引它到渐进线的垂线，垂足为M，延长FM交y轴于E，若=2，则该双曲线离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．3

Answer

先利用FM与渐近线垂直，写出直线FM的方程，从而求得点E的坐标，利用已知向量式，求得点M的坐标，最后由点M在渐进线上，代入得a、b、c间的等式，进而变换求出离心率
【解析】
设F（c，0），则c2=a2+b2
∵双曲线-=1（a＞0，b＞0）的渐进线方程为y=±x
∴垂线FM的斜率为-
∴直线FM的方程为y=-（x-c）
令x=0，得点E的坐标（0，）
设M（x，y），∵=2，
∴（x-c，y）=2（-x，-y）
∴x-c=-2x且y=-2y
即x=，y=
代入y=x
得=，即2a2=b2，
∴2a2=c2-a2，
∴=3，
∴该双曲线离心率为
故选C