Question

已知数列{a_n}满足：+++…+=n²（n≥1，n∈N⁺），
（1）求a₂₀₁₁
（2）若b_n=a_na_n+1，S_n为数列{b_n}的前b项和，存在正整数b，使得S_n＞λ-，求实数λ的取值范围．

Answer

（1）根据条件可知+++…+=20112与+++…+=20102，两式相减可求出所求；
（2）先求出数列{an}的通项公式，然后根据数列{bn}通项公式的特点，利用裂项求和法进行求和，从而可求出所求．
【解析】
（1）+++…+=20112
+++…+=20102
两式相减得=20112-20102=4021⇒a2011=
（2）+++…+=n2
+++…+=（n+1）2
两式相减得=n2-（n-1）2=2n-1⇒（n≥2）
当n=1时，a1=1也满足上式∴（n≥1）
bn=anan+1==（）
Sn=[（1-）+（-）+…+（）]=（1-）
存在正整数b，使得Sn＞λ-，即Sn的最大值大于λ-
而Sn=（1-）＜
∴＞λ-，即λ＜1