Question

已知函数f（x）=x³-ax|x+a|，x∈[0，2]
（1）当a=-1时，求函数f（x）的最大值；
（2）当函数f（x）的最大值为0时，求实数a的取值范围．

Answer

（1）当a=-1时，f（x）=x2+x|x-1|，x∈[0，2]，当0＜x＜1时，f（x）=x3-x2+x，f′（x）=3x2-2x+1=3＞0，当1＜x＜2时，f（x）=x3+x2-x，f′（x）=3x2+2x-1=（3x-1）（x+1）＞0，由此能求出函数f（x）的最大值．
（2）当a≤0时，f（0）=0，当0＜x≤2时f（x）＞0，此时不符合题设；当a＞0时，f（x）=x3-ax2+a2x，f′（x）=3x2-2ax-a2=（3x+a）（x-a），由0≤x≤2，知3x+a＞0．由此能求出实数a的取值范围．
【解析】
（1）当a=-1时，f（x）=x2+x|x-1|，x∈[0，2]，
当0＜x＜1时，f（x）=x3-x2+x，
f′（x）=3x2-2x+1=3＞0，
当1＜x＜2时，f（x）=x3+x2-x，
f′（x）=3x2+2x-1=（3x-1）（x+1）＞0，
又函数f（x）是连续函数，所以f（x）在[0，2]上是增函数，（4分）
∴函数f（x）的最大值f（x）max=f（2）=10         （6分）
（2）1°当a≤0时，f（0）=0，当0＜x≤2时f（x）＞0，此时不符合题设，（8分）
2°当a＞0时，f（x）=x3-ax2+a2x，
f′（x）=3x2-2ax-a2=（3x+a）（x-a），
∵0≤x≤2∴3x+a＞0
（i）当a≥2时，f′（x）≤0，故f（x）在[0，2]上是减函数，
∴此时f（x）max=f（0）=0，符合题设    （11分）
（ii）当0＜a＜2时，由f′（x）＞0，得a＜x＜2，
由f′（x）＜0，得0＜x＜a．
故 f（x）在[0，a]上是减函数，在在[a，2]上是增函数
∴此时f（x）max=max{f（0），f（2）}=0，
又f（0）=0，
∴f（2）≤0，即8-2a|a+2|≤0，
a2+2a-4≥0，
解之得a≤-1-或a≥，
∴，
综上所述：所求的实数a的取值范围为[，+∞）．