Question

函数f（x）=x+，g（x）=x，已知A（x，0），（x＞0），如图，过A作平行于y轴的直线交y=g（x）的图象于A₁，交y=f（x）的图象于P₁，要过P₁作平行于x轴的直线交y=g（x）于A₂，再过A₂作平行于y轴的直线交y=f（x）于P₂，…，这样一直作下去；设△A₁P₁A₂的面积为S₁，…，△A_kP_kA_k+1的面积为S_k，数列{S_n}的前n项和为T_n，并设P_n（x_n，y_n）．
（1）求S₁，S₂；
（2）求证：y_n²=2T_n+2n+x²；
（3）若x=5，求证：45＜y₁₀₀₀＜45.1．

Answer

（1）显然△A1P1A2为等腰直角三角形，从而有，
（2）由图可知An（yn-1，yn-1），，进而可得
由得，，从而可证yn2=2Tn+2n+x2；
（3）由（2）＞452，
=，故可得证．
（1）【解析】
显然△A1P1A2为等腰直角三角形

同理
（2）证明：由图可知An（yn-1，yn-1），∴

由得，
∴
∴
∴yn2=2Tn+2n+x2；
（3）证明：由（2）＞452

∴=
=
∴45＜y1000＜45.1．