Question

已知函数f（x）=log₃（ax²+2x+a²）在[2，4]上是增函数，求a的范围．

Answer

令g（x）=ax2+2x+a2，y=log3x为定义域[2，4]上是增函数，根据复合函数“同增异减”的性质，可得g（x）在[2，4]上为增函数，且g（x）＞0在[2，4]上恒成立，即g（2）＞0，从而可求
【解析】
∵y=log3x为定义域上的增函数，令g（x）=ax2+2x+a2，
则f（x）=log3g（x）为复合函数，
又∵f（x）=log3（ax2+2x+a2）在[2，4]上是增函数，根据复合函数“同增异减”的性质，
∴g（x）=ax2+2x+a2在[2，4]上为增函数，且g（x）＞0在[2，4]上恒成立
①当a=0时，g（x）=2x在[2，4]上为增函数，且g（x）＞0在[2，4]上恒成立，满足题意
②当a＞0，函数g（x）=ax2+2x+a2的对称轴x=-＜0，则函数g（x）在[2，4]上单调递增，
而由g（x）min=g（2）=4a+4+a2=（a+2）2＞0可知g（x）＞0在[2，4]上成立
故a＞0满足题意
③当a＜0时，函数g（x）=ax2+2x+a2的对称轴x=-＞0，
由题意可得，且g（x）min=g（2）=4a+4+a2=（a+2）2＞0
∴
综上可得，