Question

某同学在研究函数（x∈R）时，给出了下面几个结论：
①函数f（x）的值域为（-1，1）；②若f（x₁）=f（x₂），则恒有x₁=x₂；③f（x）在（-∞，0）上是减函数；
④若规定f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f[f_n（x）]，则对任意n∈N*恒成立，
上述结论中所有正确的结论是（ ）
A．②③
B．②④
C．①③
D．①②④

Answer

根据题意，以此分析命题：①函数f（x）的值域为（-1，1），可由绝对值不等式的性质证明得；②可从反面考虑，若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2），可根据函数的解析式判断出其是一个增函数，；③与②的判断方法一样；④由其形式知，此是一个与自然数有关的命题，故采用数学归纳法进行证明，即可得答案．
【解析】
①|x|＜1+|x|，故，函数f（x）的值域为（-1，1），①正确；
②函数是一个奇函数，当x≥0时，，判断知函数在（0，+∞）上是一个增函数，由奇函数的性质知，函数（x∈R）是一个增函数，故若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2），
从而有若f（x1）=f（x2），则恒有x1=x2；
此命题正确；
③由②已证f（x）在（-∞，0）上是增函数，故此命题不正确；
④当n=1，f1（x）=f（x）=，，
假设n=k时，成立，则n=k+1时，成立，
由数学归纳法知，此命题正确．
故选D．