Question

已知函数f（x）=x³+x．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（3）判断函数f（x）的单调性，并说明理由．

Answer

（1）根据多项式函数的定义域的判定，可知函数f（x）的定义域为R；
（2）根据奇偶性的定义，判断f（-x）与f（x）之间的关系，即可判断函数f（x）的奇偶性；
（3）利用原始的定义进行证明，在（-∞，+∞）上任取x1，x2且x1＜x2，只要证f（x2）＞f（x1）就可以可，把x1和x2分别代入函数f （x）=-x3+x进行证明．
【解析】
（1）显然函数f（x）的定义域为R；（2分）
（2）函数f（x）为奇函数．（3分）
因为f（-x）=（-x）3+（-x）=-x3-x=-（x3+x）=-f（x），（6分）
所以f（x）为奇函数．（7分）
（3）函数f（x）在R上是增函数．（8分）
任取x1，x2∈R，且x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=（x13+x1）-（x22+x2）=（x1-x2）（x12+x1x2+x22）+（x1-x2）=（10分）
由x1＜x2，得x1-x2＜0，，（11分）
于是f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．（12分）
所以，函数f（x）在R上是增函数．