Question

若f（x）是R上的奇函数，且f（x+2）=f（x），则f（1）+f（2）+…+f（2010）=    ．

Answer

由已知条件推导出函数的周期，结合奇偶性，可推导出所求的函数值也具有周期性，进而可求所有函数值的和
【解析】
∵f（x+2）=f（x）
∴函数f（x）的周期为T=2
∴f（2）=0
f（3）=f（1）
f（4）=0
f（5）=f（1）
…
∴f（1）+f（2）+…+f（2010）=1005[f（1）+f（0）]
又由f（x+2）=f（x）
当x=-1时，f（1）=f（-1）
又∵f（x）是R上的奇函数
∴f（0）=0且f（-1）=-f（1）
∴f（1）=-f（1）
∴f（1）=0
∴f（1）+f（2）+…+f（2010）=1005[f（1）+f（0）]=1005×（0+0）=0
故答案为：0