Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0）的图象经过点M（x，y），且点M在x轴的下方，
（1）求证：f（x）的图象与x轴交于不同的两点；
（2）设f（x）的图象与x轴交于点A（x₁，0），B（x₂，0），求证：x介于x₁，x₂之间．

Answer

（1）由于二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）的图象是抛物线，开口向上，图象经过点M（x，y），故 y＜0，
可得f（x）的图象与x轴交于不同的两点．
（2）由题意可得f（x1）=0，f（x2）=0，当 x＜x1 时，f（x）＞0．当 x＞x2 时，f（x）＞0，
当x1 ＜x＜x2 时，f（x）＜0．再由 y=f（x）＜0，可得结论．
【解析】
（1）由于二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）的图象是抛物线，开口向上，
图象经过点M（x，y），且点M在x轴的下方，故 y＜0，f（x）的图象与x轴交于不同的两点．
（2）设f（x）的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），不妨设x1 ＜x2 ，
则由题意可得f（x1）=0，f（x2）=0，当 x＜x1 时，f（x）＞0．
当 x＞x2 时，f（x）＞0，当x1 ＜x＜x2 时，f（x）＜0．
由 y=f（x）＜0，可得 x1 ＜x＜x2 ，即 x介于x1，x2之间．