Question

过点M（4，2）作x轴的平行线被曲线C：x²=2py（p＞0）截得的弦长为．
（I）求p的值；
（II）过点M作直线交抛物线C于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线l₁，l₂，记l₁，l₂的交点为N，当时，求点N的坐标．

Answer

（I）由题意可得，点在抛物线x2=2py上，代入可求p，
（II）由题意可设直线AB：y-2=k（x-4），联立抛物线x2=4y，设A（），B（）根据方程的根与系数关系可求x1+x2，x1x2，结合弦长公式|AB|==，利用导数的几何意义可求A，B点处的切线，交点坐标N，由点N到直线AB的距离d=，代入面积公式可求=，结合已知即可求k
【解析】
（I）由题意可得，过M（4，2）所作的直线为y=2截抛物线 弦长为4
∴点在抛物线x2=2py上，…（2分）
代入得8=4p，故p=2．…（5分）
（II）易知直线AB的斜率一定存在，设为k，则AB：y-2=k（x-4）
联立抛物线x2=4y，消元，整理得：x2-4kx+16k-8=0    …（7分）
设A（），B（）则x1+x2=4k，x1x2=16k-8
|AB|===…（9分）
∵故抛物线在A，B两点处的切线斜率分别为
故在A，B点处的切线方程分别为L1，   …（11分）
于是，l1与l2的交点坐标为，即N（2k，4k-2）
点N到直线AB的距离d=                 …（12分）
∴=…（13分）
故即
∴k=-1或k=5，…（14分）
故点N的坐标为（-2，-6）或（10，18）．…（15分）