Question

已知动圆C过定点F（），且与直线x=相切，圆心C的轨迹记为E．，曲线E与直线l：y=k（x+1）（k∈R）相交于A、B两点．
（Ⅰ）求曲线E的方程；
（Ⅱ）当△OAB的面积等于时，求k的值；
（Ⅲ）在曲线E上，是否存在与k的取值无关的定点M，使得MA⊥MB？若存在，求出所有符合条件的定点M；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）由抛物线的定义易知这是一条以为焦点，以x=为准线的抛物线，即可得其标准方程
（Ⅱ）将直线与曲线联立，利用韦达定理，设而不求，将△OAB的面积表示为k的函数，求最值即可
（Ⅲ）假设存在这样的点，由MA⊥MB，得，再结合（Ⅱ）中的结论即可求得此定点
【解析】
（Ⅰ）点C的轨迹方程为y2=-x，
（Ⅱ）．由方程组
消去x后，整理得
y2=-x，
y=k（x+1）
ky2+y-k=0．
设A（x1，y1）、B（x2，y2），由韦达定理
∵A、B在抛物线y2=-x上，
∴y12=-x1，y22=-x2，y12•y22=x1x2．
设直线l与x轴交于点N，则N（-1，0）
∵S△OAB=S△OAN+S△OBN
=|ON||y1|+|ON||y2|
=|ON|•|y1-y2|，
∴S△OAB=•1•
=
∵S△OAB=，
∴=．解得k=±
（Ⅲ）设点M（x，y），若（y1-y）（y2-y）+（x1-x）（x2-x）=0
⇔

故存在唯一的合乎题意的点M（0，0）