Question

如图，边长为2的正方形ABCD所在平面为α，PA⊥平面α，PA=2，M、N分别是AD、BC的中点，MQ⊥PD于Q．
（1）求证平面PMN⊥平面PAD；
（2）二面角P-MN-Q的余弦值．

Answer

（1）要证平面PMN⊥平面PAD，只需证MN⊥平面PAD即可；
（2）由（1）可知：MN⊥平面PAD，从而PMQ是二面角P-MN-Q的平面角，故可求．
【解析】
（1）正方体ABCD中，∵A、N分别是AD、BC的中点，∴MN⊥AD
又∵PA⊥平面α，MN⊂α，∴PA⊥MN，∴MN⊥平面PAD
又MN⊂平面PAD，平面PMN⊥平面PAD…（5分）
（2）由上可知：MN⊥平面PAD
∴PM⊥MN，QM⊥MN，∠PMQ是二面角P-MN-Q的平面角．…（8分）
PA=2，AD=2，则AM=1，PM=
PD=2，MQ=…（12分）