Question

已知（1+x）+（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）ⁿ=a+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，（n∈N^*，N≥3）．
（1）求证：；
（2）若a₁+a₂+…+a_n-1=29-n，求正整数n的值．

Answer

（1）利用组合数先表示出a3，再利用组合和的性质化简组合数的和，得到证明．
（2）先求出an，再通过给二项式中的x分别赋值0，1得到a=n和a+a1+a2+…+an-1+an=2n+1-2，进一步求出a1+a2+…+an-1，
代入已知等式，解方程求出n的值．
证明：（1）a3为x3的系数，
所以a3=
=
=
=
所以
【解析】
（2）只有（1+x）n的展开式中才有含xn的项，它的系数为1，
令x=0得a=n，
令x=1得a+a1+a2+…+an-1+an=2+22+23++2n=2n+1-2，
∴a1+a2+…+an-1=2n+1-2-1-n
∴2n+1-3-n=29-n
得n=4；