Question

如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SA⊥底面ABCD，E是SC上一点．
（1）求证：平面EBD⊥平面SAC；
（2）当的值为多少时，二面角B-SC-D的大小为120°．

Answer

（1）欲证平面EBD⊥平面SAC，只需证BD⊥面SAC，利用线面垂直的判定定理可证得；
（2）作BM⊥SC于M，连接DM，可证得∠BMD是二面角B-SC-D的平面角，利用余弦定理建立等量关系求解即可．
【解析】
证明（1）∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC，
∵SA⊥底面ABCD，BD⊂面ABCD，∴SA⊥BD，
∵SA∩AC=A，∴BD⊥面SAC，
又∵BD⊥平面EBD，∴平面EBD⊥平面SAC；
（ 2 ）作BM⊥SC于M，连接DM，

∵SA⊥底面ABCD，AB=AD，∴SB=SD，
又∵CB⊥AB，CD⊥AD，∴CB⊥SB，CD⊥SD，
∴△SBC≌△SDC，∴DM⊥SC，
∴∠BMD是二面角B-SC-D的平面角，BM=DM．
要使∠BMD=120°，只须=cos120°，
即BM2=BD2，而BD2=2AB2，∴BM2=AB2，
∵BM×SC=SB×BC，SC2=SB2+BC2，
∴BM2×SC2=SB2×BC2，
∴AB2（SB2+BC2）=SB2×BC2，
∵AB=BC，
∴2SB2+2AB2=3SB2，∴SB2=2AB2，
又∵AB2=SB2-SA2，
∴AB2=SA2，∴=1，
故当=1时，二面角B-SC-D的大小为120°．