Question

已知（1-ax）ⁿ展开式的第r，r+1，r+2三项的二次式系数构成等差数列，第n+1-r与第n+2-r项的系数之和为0，而（1-ax）ⁿ⁺¹展开式的第r+1与r+2项的二项式系数之比为1：2．
（1）求（1-ax）ⁿ⁺¹展开式的中间项；
（2）求（1-ax）ⁿ的展开式中系数最大的项．

Answer

（1）利用展开式的第r，r+1，r+2三项的二项式系数构成等差数列，第n+1-r与第n+2-r项的系数之和为0，而（1-ax）n+1展开式的第r+1与r+2项的二项式系数之比为1：2．列出方程即可求出a，n的值，然后求出中间项．
（2）利用二项式系数的性质，直接求出展开式的系数的最大项即可．
【解析】
（1-ax）n展开式的第r，r+1，r+2三项的二项式系数构成等差数列，，…①；
第n+1-r与第n+2-r项的系数之和为0，…②；
而（1-ax）n+1展开式的第r+1与r+2项的二项式系数之比为1：2．即，…③；
由③得n=3r+1，…④
由①得…⑤，
由④⑤解得r=2，n=7，
把r=2，n=7代入②解得a=3．
（1）（1-3x）8展开式的中间项为=5670x4；
（2）求（1-3x）7的展开式中系数最大的项在奇数项中，分别是第一项=1；第三项=189x2，
第五项=35×34x4=2835x4，第七项=63×34x6=5103x6．
（1-ax）n的展开式中系数最大项是第七项=5103x6．