Question

已知数列{a_n}的通项公式为a_n=2^n-1+1．
（1）若S_n=a₁C_n+a₂C_n¹+a₃C_n²+…+a_n+1C_nⁿ，（n∈N^*），求证：当n为偶数时，S_n-2ⁿ-4n-1能被64整除．
（2）是不是存在等差数列{b_n}，使得b₁C_n¹+b₂C_n²+…+b_nC_nⁿ=n（a_n-1）对一切n∈N^*都成立？若存在，求数列{b_n}的通项公式；若不存在，则请说明理由．
（3）记T_n=1!C_n¹+2!C_n²+3!C_n³+…+n!C_nⁿ（n=1，2，3，…），当n≥2时，求证：（1+）（1+）（1+）…（1+）≤3-．

Answer

（1）利用二项式定理、二项式系数的性质化简Sn 为3n+2n，设n=2k，k∈z+，则Sn-2n-4n-1=3n -4n-1=9k-8k-1，用数学归纳法证明它能被64整除．
（2）分别令n=1、2、3 求出b1 =1，b2 =2，b3=3，若存在等差数列{bn}，则 bn =n，由Cn-11+Cn-12+Cn-13++Cn-1n-1 =
2n-1 成立，可得Cn1+2Cn2+…+nCnn=n（an-1）=n2n-1 对一切n∈N*都成立，故却是存在等差数列{bn}，满足条件．
（3）要证的不等式即：（1+）（1+）（1+）…（1+）≤3-，用数学归纳法和放缩法证明此不等式成立．
（1）证明：由已知得，Sn =a1Cn+a2Cn1+a3Cn2+…+an+1Cnn=（1+1）Cn+（2+1）Cn1+（22+1）Cn2+…+（2n）Cnn
=（Cn+2Cn1+22Cn2+…+2nCnn）+（Cn+Cn1+Cn2+…+Cnn）=（1+2）n+2n=3n+2n．
当n为偶数时，设n=2k，k∈z+，则Sn-2n-4n-1=3n -4n-1=9k-8k-1．
当k=1时，9k-8k-1=0，显然能被64整除．
假设 9m-8m-1 能被64整除m为正整数，则n=m+1时，9k-8k-1=99m-8m-8-1=9（9m-8m-1 ）+64m，
由假设知，9（9m-8m-1 ）能被64整除，再由64m 也能被64整除，
可得k=m+1时，9m-8m-1仍能被64整除．
综上可得当n为偶数时，Sn-2n-4n-1 能被64整除．
（2）∵b1Cn1+b2Cn2+…+bnCnn=n（an-1）对一切n∈N*都成立，an=2n-1+1，
故当n=1时，有 b1 =a1 -1=1，
当n=2时，有 2 b1 +b2 =2（a2 -1）=4，∴b2 =2．
当n=3时，有  3b1 +3b2+b3=3（a3-1），即 3+6+b3=3×4，∴b3=3．
若存在等差数列{bn}，使得b1Cn1+b2Cn2+…+bnCnn=n（an-1）对一切n∈N*都成立，则应有bn =n．
由二项式定理可得 Cn-11+Cn-12+Cn-13++Cn-1n-1 =2n-1 成立，
故有n（Cn-1+Cn-11+Cn-12+Cn-13++Cn-1n-1）=n•2n-1，即Cn1+2Cn2+…+nCnn=n（an-1）=n2n-1 对一切n∈N*都成立，
故存在等差数列{bn}，使得b1Cn1+b2Cn2+…+bnCnn=n（an-1）对一切n∈N*都成立，此时，bn =n．
（3）Tn=1!Cn1+2!Cn2+3!Cn3+…+n!Cnn（n=1，2，3，…），
由题意可得==，∴3-=3-．
要证的不等式即：（1+）（1+）（1+）…（1+）≤3-．
当n=2时，不等式的左边等于 （1+）（1+）=，右边等于3-=，不等式成立．
假设n=k时，不等式成立，即：（1+）（1+）（1+）…（1+）≤3-，
则n=k+1时，不等式的左边等于：（1+）（1+）（1+）…（1+）（1+）≤（3- ）（1+）
≤（3- ）（1+）=3+＜3-=3-=右边，
故n=k+1时，（1+）（1+）（1+）…（1+）≤3-也成立．
综上可得：（1+）（1+）（1+）…（1+）≤3-成立．