Question

双曲线x²-y²=1的左焦点为F，点P是双曲线左支上位于x轴上方的任一点，则直线PF的斜率的取值范围是（ ）
A．（-∞，0]∪[1，+∞）
B．（-∞，0）∪（1，+∞）
C．（-∞，-1）∪[1，+∞）
D．（-∞，-1）∪（0，+∞）

Answer

根据双曲线方程，得到a2=1，b2=1，所以c=，得左焦点为F（-，0）．再设点P（x，y），可得x2-y2=1，且x＜-1，y＞0，根据经过两点的斜率公式，得到PF的斜率关于x、y的表达式，化简得：，最后利用换元的方法，结合用导数研究函数的单调性，可得直线PF的斜率的取值范围．
【解析】
设点P（x，y），根据点P是双曲线左支上位于x轴上方的点，可得
x2-y2=1，且x＜-1，y＞0
双曲线x2-y2=1中，a2=1，b2=1
∴c==，得左焦点为F（-，0）
因此直线PF的斜率为==
换元：设，因为x＜-1，所以θ∈（，π）且θ≠
∴=f（θ）
∵f'（θ）=＜0恒成立，
∴f（θ）在（，）和（，π）上都是减函数
当θ∈（，）时，f（θ）＜f（）=-1；
当θ∈（，π）时，f（θ）＞f（π）=0
∴KPF＜-1或KPF＞0
故选D