Question

已知抛物线C：y²=2px（p＞0），焦点F到准线l的距离为2．
（1）求p的值；
（2）过点F作直线交抛物线于点A、B，交l于点M．若点M的纵坐标为-2，求|AB|．

Answer

（1）根据p的几何意义，即焦点F到准线l的距离是p进行求解；
（2）由（1）和题意求出焦点F和点M的坐标，代入斜率公式求出直线AB的斜率，再代入点斜式方程求出直线AB的方程，联立抛物线和直线方程，消去y得到一个关于x的二次方程，求出x1+x2的值，再代入焦点弦公式求出|AB|．
【解析】
（1）∵焦点F到准线l的距离为2，∴p=2；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
由（1）知，抛物线方程为y2=4x，
∴焦点F的坐标（1，0），且M（-1，-2），
∴直线AB的斜率为，
∴直线AB的方程为y=x-1，
由得，x2-6x+1=0，
∴x1+x2=6，
∴|AB|=x1+x2+p=8．