Question

已知实数c≥0，曲线与直线l：y=x-c的交点为P（异于原点O）．在曲线C上取一点P₁（x₁，y₁），过点P₁作P₁Q₁平行于x轴，交直线l于Q₁，过点Q₁作Q₁P₂平行于y轴，交曲线C于P₂（x₂，y₂）；接着过点P₂作P₂Q₂平行于x轴，交直线l于Q₂，过点Q₂作Q₂P₃平行于y轴，交曲线C于P₃（x₃，y₃）；如此下去，可得到点P₄（x₄，y₄），P₅（x₅，y₅），…，P_n（x_n，y_n），设点P坐标为，x₁=b，0＜b＜a．
（1）试用c表示a，并证明a≥1；
（2）证明：x₂＞x₁，且x_n＜a（n∈N^*）；
（3）当时，求证：．

Answer

（1）点P的坐标满足方程组，由 ，可得 a≥1．
（2）由 ，0＜b＜a，a≥1，可得
 ，即x2＞x1．用数学归纳法证明xn＜a．
（3）当c=0时，，由 ，可得 xk单调递增．当n≥1时，
，，
从而得到  ．
（1）点P的坐标满足方程组，∴，
解得平方，得，∵c≥0
∴，所以a≥1．
（2）由已知，得 ，，，
即x1=b，，．   由（1）知，
∴，∵0＜b＜a，a≥1，
∴，即x2＞x1；
下面用数学归纳法证明xn＜a（n∈N*）：①当n=1时，x1=b＜a；
②假设当n=k时，xk＜a，则当n=k+1时，；
综上，xn＜a（n∈N*）．
（3）当c=0时，，，∴，
∵，∴xk单调递增．
∴当n≥1时，有，即，
又，∴，
∴．