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已知椭圆C:manfen5.com 满分网与双曲线manfen5.com 满分网-y2=1有公共焦点,且离心率为manfen5.com 满分网.A,B分别是椭圆C的左顶点和右顶点.点S是椭圆C上位于x轴上方的动点.直线AS,BS分别与直线l:x=manfen5.com 满分网分别交于M,N两点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)延长MB交椭圆C于点P,若PS⊥AM,试证明MS2=MB•MP.
(3)当线段MN的长度最小时,在椭圆C上是否存在点T,使得△TSB的面积为manfen5.com 满分网?若存在确定点T的个数,若不存在,说明理由.

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(1)根据椭圆与双曲线有公共焦点,可确定椭圆的焦点,利用椭圆的离心率,即可求出椭圆的方程; (2)引入直线AS的斜率k,用点斜式写出直线AS的方程,与l的方程联立求出点M的坐标,与椭圆方程联立,求得点S的坐标,又点B的坐标已知,从而可得,利用PS⊥AM,由射影定理可得MS2=MB•MP. (3)线段MN的长度可以表示成直线AS的斜率k的函数,根据其形式利用基本不等式法求最值,从而求出直线SB的方程要使椭圆C上存在点T,使得△TSB的面积等于,只须T到直线BS的距离等于,由此问题转化为研究与直线SB平行且距离为的直线与椭圆的交点个数问题. (1)【解析】 ∵椭圆C:与双曲线-y2=1有公共焦点 ∴椭圆C的焦点为, ∴, 又∵, ∴a=2,b=1, ∴椭圆的方程为.…(3分) (2)证明:直线AS的斜率k显然存在,且k>0,故可设直线AS的方程为y=k(x+2),从而 由得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0 设S(x1,y1),则得,从而         …(5分) 即 又B(2,0),从而, ∴, ∴, 又因为PS⊥AM,由射影定理可得MS2=MB•MP.…(7分) (3)【解析】 由得 ∴ 又k>0,∴ 当且仅当,即时等号成立 ∴时,线段MN的长度取最小值 此时BS的方程为,∴       …(9分) 要使椭圆C上存在点T,使得△TSB的面积等于,只须T到直线BS的距离等于, 所以T在平行于BS且与BS距离等于的直线l'上. 设直线l':x+y+t=0,则由,解得或. 当时,由,得5x2-12x+5=0 由于△=44>0,故直线l'与椭圆C有两个不同的交点; 当时,由得5x2-20x+21=0, 由于△=-20<0,故直线l'与椭圆没有交点. 综上所述,当线段MN的长度最小时,在椭圆C上仅存在两个不同的点T,使得△TSB的面积为.…(12分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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