Question

已知函数f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函数．
（1）求k的值；
（2）定理：函数f（x）=ax+（a、b是正常数）在区间（0，）上为减函数，在区间上为增函数．参考该定理，解决下面问题：若方程f（x）-m=0有解，求m的取值范围．

Answer

（1）根据函数f（x）是偶函数建立等式关系，化简可得，从而x=-2kx对x∈R恒成立，即可求出k的值；
（2）要使方程f（x）-m=0有解，转化成求函数的值域，将m分离出来得．，然后利用所给定理求出m的范围即可．
【解析】
（1）由函数f（x）是偶函数，可知f（x）=f（-x）．
∴log4（4x+1）+kx=log4（4-x+1）-kx．…（2分）
即log4=-2kx，
log44x=-2kx，…（4分）
∴x=-2kx对一切x∈R恒成立．
∴k=-．…（5分）
（利用f（-1）=f（1）解出k=-，可得满分）
（2）由m=f（x）=log4（4x+1）-x，
∴m=log4=log4（2x+）．…（7分）
设u=2x+，又设t=2x，则u=t+，由定理，知u的最小值=u（1）=2，…（9分）
∴m≥log42=．
故要使方程f（x）-m=0有解，m的取值范围为m≥．…（10分）