Question

已知函数是定义在（-1，1）上的奇函数，且，
①求函数f（x）的解析式；
②判断函数f（x）在（-1，1）上的单调性并用定义证明；
③解关于x的不等式f（log₂x-1）+f（log₂x）＜0．

Answer

①直接根据f（0）=0以及，得到关于a，b的两个等式，求出a，b的值即可得到函数f（x）的解析式；
②直接利用单调性的定义证明即可得到证明其单调性；
③令log2x=t，直接利用其为奇函数把不等式转化为f（t-1）＜f（-t）；再根据其单调性即可得到不等式的解集．
【解析】
①依题意得，即，解得：．
∴f（x）=．
②f（x）在（-1，1）上是增函数，
证明如下：任取-1＜x1＜x2＜1，
则f（x1）-f（x2）=．
∵-1＜x1＜x2＜1
∴x1-x2＜0，1-x1x2＞0
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
∴f（x）在（-1，1）上是增函数．
③令log2x=t，则不等式f（log2x-1）+f（log2x）＜0，
转化为f（t-1）+f（t）＜0⇒f（t-1）＜-f（t）=f（-t）．
∵f（x）在（-1，1）上是增函数；
∴-1＜t-1＜-t＜1⇒0＜t＜．
∴0＜log2x＜⇒1＜x＜．
∴不等式f（log2x-1）+f（log2x）的解集为（1，）．