Question

已知直线l：y=4x和点P（6，4），点A为第一象限内的点且在直线l上，直线PA交x轴正半轴于点B，求△OAB面积的最小值，并求当△OAB面积取最小值时的B的坐标．

Answer

设点A（a 4a），a＞0，点B坐标为（b，0），b＞0，则直线PA的斜率为 =，解得 b 的值，求得B的坐标为（，0），根据△OAB面积为 S=，即10a2-Sa+S=0，利用判别式大于或等于零求出S的最小值，并求出此时a的值 即可得到B的坐标．
【解析】
设点A（a 4a），a＞0，点B坐标为（b，0），b＞0，则直线PA的斜率为 =，解得 b=，
故B的坐标为（，0），故△OAB面积为 S==，即 10a2-Sa+S=0．
由题意可得方程 10a2-Sa+S=0 有解，故判别式△=S2-40S≥0，S≥40，故S的最小值等于40，此时，方程为a2-4a=4=0，解得 a=2．
综上可得，△OAB面积的最小值为40，当△OAB面积取最小值时点B的坐标为（10，0）．