Question

已知函数f（x）=x²-2ax+1．
（1）若函数f（x）在区间（0，1）和（1，3）上各有一个零点，求a的取值范围；
（2）若函数在区间[-1，2]上有最小值-1，求a的值．

Answer

（1）若函数f（x）在区间（0，1）和（1，3）上各有一个零点，故有 ，解不等式组求出a的取值范围．
（2）由于二次函数的对称轴为x=a，分a＜-1、-1≤a≤2、a＞2三种情况，分别根据最小值求出a的值，取并集，即得所求．
【解析】
（1）若函数f（x）在区间（0，1）和（1，3）上各有一个零点，故有 ，
即，解得 0＜a＜．
故a的取值范围为（0，）．
（2）若函数在区间[-1，2]上有最小值-1，由于函数的对称轴为x=a，
当a＜-1时，函数f（x）在区间[-1，2]上是增函数，最小值为f（-1）=1+2a+1=-1，解得a=．
当-1≤a≤2时，函数f（x）在区间[-1，2]上先减后增，最小值为f（a）=-a2+1=-1，解得a= 或-（舍去）．
当a＞2时，函数f（x）在区间[-1，2]上是减函数，最小值为f（2）=5-4a=-1，解得a=（舍去）．
综上，a的值为 或．