Question

已知：函数f（x）=x³-6x²+3x+t，t∈R．
（1）①证明：a³-b³=（a-b）（a²+ab+b²）
②求函数f（x）两个极值点所对应的图象上两点之间的距离；
（2）设函数g（x）=e^xf（x）有三个不同的极值点，求t的取值范围．

Answer

（1）①利用（a-b）3=a3-3a2b+3ab2-b3可证；
②令f′（x）=3x2-12x+3=0，设其两根为（x1，x2）（x1＜x2），利用韦达定理可得x1+x2=4，x1x2=1，进而可求x2-x1，y1-y2，故可求函数f（x）两个极值点所对应的图象上两点之间的距离
（2）求导函数，f′（x）=（3x2-12x+3）ex+（x3-6x2+3x+t）ex=（x3-3x2-9x+t+3）ex，函数g（x）=exf（x）有三个不同的极值点，所以x3-3x2-9x+t+3=0有三个不等根，构造函数h（x）=x3-3x2-9x+t+3，可知h（x）在（-∞，-1），（3，+∞）上递增，在（-1，3）上递减，从而h（-1）＞0，h（3）＜0，故可求t的取值范围．
（1）①证明：∵（a-b）3=a3-3a2b+3ab2-b3
∴a3-b3=（a-b）3+3a2b-3ab2=（a-b）[（a-b）2+3ab]=（a-b）（a2+ab+b2）
②【解析】
令f′（x）=3x2-12x+3=0，设其两根为（x1，x2）（x1＜x2）
∴x1+x2=4，x1x2=1
∴
设两个极值点所对应的图象上两点的坐标为（x1，y1），（x2，y2）
则
=
∴函数f（x）两个极值点所对应的图象上两点之间的距离为
（2）【解析】
f′（x）=（3x2-12x+3）ex+（x3-6x2+3x+t）ex=（x3-3x2-9x+t+3）ex
∵g（x）有三个不同的极值点
∴x3-3x2-9x+t+3=0有三个不等根；
令h（x）=x3-3x2-9x+t+3，则h′（x）=3x2-6x-9=3（x+1）（x-3）
∴h（x）在（-∞，-1），（3，+∞）上递增，在（-1，3）上递减
∵h（x）有三个零点
∴h（-1）＞0，h（3）＜0
∴t+8＞0，t-24＜0
∴-8＜t＜24