Question

已知：函数f（x）=a•lnx+bx²+x在点（f，f（1））处的切线方程为x-y-1=0．
（1）求f（x）的表达式；
（2）设函数的反函数为p（x），t（x）=p（x）（1-x），求函数t（x）的最大值；
（3）在（2）中，问是否存在正整数N，使得当n∈N₊且n＞N时，不等式恒成立？若存在，请找出一个满足条件的N的值，并给以说明；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）当x=1时，y=0，代入f（x）=a•lnx+bx2+x得b=-1，再利用切线的几何意义求得a值，最后写出函数的解析式即可；
（2）由（1）得函数=lnx，它的反函数为p（x）=ex，求其导数，利用导数大于0原函数是增函数，导数小于0原函数是减函数，进而求出函数t（x）的最大值．
（3）由（2）得p（x）（1-x）≤1，从而有当x＜1时，有p（x）≤，将原不等式转化成不等式n-（+++…+）＜n-2010，利用调和级数的和，从而得到取N=[e2010+C]，当n＞N时，不等式恒成立．
【解析】
（1）当x=1时，y=0，代入f（x）=a•lnx+bx2+x得b=-1，
f′（x）=-2x+1，由切线方程知f′（1）=1，∴a=2，
故f（x）=2lnx-x2+x．
（2）由（1）得函数=lnx，它的反函数为p（x）=ex，
∴t（x）=ex•（1-x），
∴t′（x）=-ex•x，
当t′（x）=0时，x=0，当t′（x）＞0时，x＞0，当t′（x）＜0时，x＜0．
∴t（x）=ex•（1-x）在区间（-∞，0）上是减函数，在区间（0，+∞）上是增函数，
∴当x=0时，函数t（x）的最大值为1．
（3）由（2）得p（x）（1-x）≤1，
∴当x＜1时，有p（x）≤
不等式
=+++…+
=（1-）+（1-）+（1-）+…（1-）
=n-（+++…+）≈n-ln（n+1）+C（C=0.57722…一个无理数，称作欧拉初始）
当n-ln（n+1）+C＜n-2010时，原不等式恒成立，
故只须ln（n+1）＞2010+C，即n+1＞e2010+C，也即n＞e2010+C-1，
故取N=[e2010+C]，当n＞N时，不等式恒成立．