Question

已知f（x）为R上不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R都满足：f=af（b）+bf（a）．
（1）求f（0），f（1）的值；
（2）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（3）若f（2）=2，g（n）=f（2ⁿ）（n∈N），求g（n）．

Answer

（1）根据题意，用赋值法，令a=b=0，可得f（0）的值，令a=b=1，可得f（1）=f（1）+f（1），即可得f（1）；
（2）由（1）中f（1）=0的结论；再令a=b=-1，则f（1）=-2f（-1）=0，可得f（-1）的值，进而令a=x，b=-1，则f（-x）=-f（x）+xf（-1）=-f（x），即可得答案；
（3）根据题意，f（2n）=f（2×2n-1）=2f（2n-1）+2n-1f（2），又由f（2）=2，可得f（2n）=f（2n-1）+2n，进而等式可以变形为=2，则数列{f（2n）}是首项为f（2）=2，公比为2的等比数列，由等比数列的通项公式可得答案．
【解析】
（1）根据题意，对于任意的a，b∈R都满足：f（a•b）=af（b）+bf（a），
令a=b=0，可得f（0）=0，
令a=b=1，可得f（1）=f（1）+f（1），即f（1）=0；
（2）由（1）的结论，f（1）=0；
令a=b=-1，则f（1）=-2f（-1）=0，∴f（-1）=0
令a=x，b=-1，则f（-x）=-f（x）+xf（-1）=-f（x）
f（x）为奇函数．
（3）根据题意，f（2n）=f（2×2n-1）=2f（2n-1）+2n-1f（2），
又由f（2）=2，则f（2n）=f（2n-1）+2n，
等式左右两边同除2n可得=，即=2，
则数列{f（2n）}是首项为f（2）=2，公比为2的等比数列，
则f（2n）=2n，
故g（n）=f（2n）=2n．