Question

（2009年）已知函数f（x）=ax³+3x²-6ax+b，g（x）=3x²+6x+12，h（x）=kx+9，又f（x）在x=2处取得极值9．
（1）求实数a、b的值；
（2）当x∈[-2，+∞）时，f（x）≤h（x）≤g（x）恒成立，求实数k的取值范围．

Answer

（1）先对函数f（x）进行求导，根据函数f（x）在x=2处取得极值9建立两个等式关系，求出两个变量a，b即可．
（2）由题意知，g（x）=3x2+6x+12最小值9，f（x）在x=2处取得极值9，h（x）=kx+9的图象是恒过（0，9）的直线，分别作出这三个函数的图象，如图所示，结合图象可知，要使当x∈[-2，+∞）时，f（x）≤h（x）≤g（x）恒成立，只须直线h（x）=kx+9的图象在函数y=f（x）与y=g（x）中间穿过即可，从而得出直线 h（x）=kx+9的斜率k的取值范围．
【解析】
（1）∵f′（x）=3ax2+6x-6a，
由已知，
解得a=-2，b=-11．
（2）由于g（x）=3x2+6x+12=3（x+1）2+9，
故当x=-1时．g（x）取得最小值9；
又由题意知，f（x）在x=2处取得极值9；
h（x）=kx+9的图象是恒过（0，9）的直线，其斜率为k．
分别作出这三个函数的图象，如图所示，
结合图象可知，要使当x∈[-2，+∞）时，f（x）≤h（x）≤g（x）恒成立，
只须直线h（x）=kx+9的图象在函数y=f（x）与y=g（x）中间穿过即可，
此时直线 h（x）=kx+9的斜率大于等于0，
即实数k的取值范围[0，+∞）．