Question

△ABC中，AB=4，AC=2，D为边BC上一点，满足．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求BC的长；
（Ⅲ）求2C-B的度数．

Answer

（Ⅰ）把已知等式左右两边平方，利用完全平方公式及平面向量的数量积运算法则整理后，将各种向量的模代入，即可求出的值；
（Ⅱ）由第一问求出的=，左边平面向量的数量积运算法则化简，将||和||的值代入求出cos∠BAC的值，再由AB及AC的长，利用余弦定理列出关于BC的方程，求出方程的解即可得到BC的长；
（Ⅲ）由三角形的三边长，利用余弦定理求出cosB的值，根据cosB的值大于0得出B的范围，进而利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，再由余弦定理求出cosC的值，由cosC的值小于0，得出C的范围，进而利用二倍角的余弦函数公式化简cos2C，将求出的cosC的值代入求出cos2C的值，由cos2C的值小于0，得到2C的范围，进而利用同角三角函数间的基本关系求出sin2C的值，最后利用两角和与差的正弦函数公式化简sin（2C-B），将各种的值代入求出sin（2C-B）的值，再由2C及B的范围求出2C-B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出2C-B的度数．
【解析】
（Ⅰ）两边平方得：
=++ו，
即||2=||2+||2+ו，
又||=，||=4，||=2，
∴6=×16+×4+ו，
则•=；
（Ⅱ）由•=得：||•||cos∠BAC=，
又||=4，||=2，
∴cos∠BAC=，又AB=4，AC=2，
由余弦定理得：BC2=AB2+AC2-2AB•ACcos∠BAC
=16+4-11=9，
∴BC=3；
（Ⅲ）∵AB=c=4，AC=b=2，BC=a=3，
∴由余弦定理得cosB===＞0，
∴B∈（0，），
∴sinB==，
又cosC===-＜0，
∴C∈（，π），
∴cos2C=2cos2C-1=-＜0，
∴2C∈（π，），
∴sin2C==-，
∴sin（2C-B）=sin2CcosB-cos2CsinB
=-×-（-）×=0，
又2C-B∈（，），
∴2C-B=π．