Question

已知两点M（-1，0），N（1，0）且点P使成等差数列．
（1）若P点的轨迹曲线为C，求曲线C的方程；
（2）从定点A（2，4）出发向曲线C引两条切线，求两切线方程和切点连线的直线方程．

Answer

（1）设出P的坐标为（x，y），再由M和N的坐标，表示出，，及，根据成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，利用平面向量的数量积运算法则化简后，即可得到曲线C的方程；
（2）设切线方程的斜率为k，根据A的坐标表示出切线的方程，利用点到直线的距离公式表示出圆心到所设直线的距离d，由直线与圆相切，得到d=r列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，进而确定出切线方程，设M和N为对应切线的切点，根据垂径定理，由|OA|，|OM|，利用勾股定理求出|AM|的长，以A为圆心，|AM|长为半径写出圆A的标准方程，MN即为两圆的公共弦，利用两圆的方程相减即可求出公共弦MN所在的直线方程．
【解析】
（1）设动点P（x，y），
则，
，
，
于是由得：2（x2+y2-1）=2（1+x）+2（1-x），
化简得：x2+y2=3即为所求的轨迹方程；
（2）设切线方程为y-4=k（x-2），即kx-y+4-2k=0，
由，
所以切线方程为：，
设M、N为对应切线的切点，则0A2=OM2+AM2，所以，
所以以A为圆心AM为半径作圆其方程为（x-2）2+（y-4）2=17，
则MN即为两圆的公共弦，
所以两圆方程相减得到公共弦MN方程为：2x+4y-3=0．