Question

已知函数f（x）=x³-3x²+2b，满足：f（1+x）+f（1-x）=2b，且方程f（x）-2t=0在区间[-1，t]（t＞-1）上只有一个解，则实数t的取值范围是（ ）
A．
B．[0，1）∪[3，+∞）∪{2}
C．
D．

Answer

由于f（1+x）+f（1-x）=2b，代入函数解析式得出b值，从而得出函数f（x）的解析式，又f（x）-2t=0⇔f（x）=2t，设y=f（x），y=2t，画出这两个函数的图象，如图所示．下面结合图象就t的取值进行分类讨论，即可得到实数t的取值范围．
【解析】
由于f（1+x）+f（1-x）=2b，
∴（x+1）3-3（x+1）2+2b+（1-x）3-3（1-x）2+2b=2b
⇒b=2．
∴f（x）=x3-3x2+4，
又f（x）-2t=0⇔f（x）=2t，设y=f（x），y=2t，
画出这两个函数的图象，如图所示．
在方程f（x）-2t=0中令x=t得：t3-3t2+4-2t=0，
⇒（t-1）（t2-2t-4）=0⇒t=1或t=1±，
①当t∈[0，1]时，它们在区间[-1，t]（t＞-1）上只有一个交点；
②当t=2时，它们在区间[-1，t]（t＞-1）上只有一个交点；
③当t∈[1，+∞）时，它们在区间[-1，t]（t＞-1）上只有一个交点；如图．
综上所述，则实数t的取值范围是．
故选A．