Question

已知函数，
（1）当a=-1时，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若函数f（x）在x=x₁和x=x₂处有极值，且，求实数a的取值范围．

Answer

（1）利用导数求函数f（x）的单调递增区间，先求导数，再令导数大于0，解出x的范围即可．
（2）根据函数f（x）在x=x1和x=x2处取得极值，可判断x1和x=x2处为方程x2-2ax+3a=0的两根，就可列出a，b的不等关系，再利用条件：“”结合根与系数的关系建立关于a另一个不等式．两者结合即可求实数a的取值范围．
【解析】
（1）当a=-1时，f（x）=x3+x2-3x，
∴f'（x）=x2+2x-3，（2分）
令f'（x）＞0，即x2+2x-3＞0，解得x＞1或x＜-3，
∴函数f（x）的单调递增区间是（1，+∞），（-∞，-3）；（5分）
（2）函数f（x）在x=x1和x=x2处有极值，且f'（x）=x2-2ax+3a
∴x1和x2为方程x2-2ax+3a=0的两根，
∴，由△＞0得4a2-12a＞0，∴a＞3或a＜0，①
∴+===
设t=，且，∴1＜t≤3．
∴+=t+，此函数在（0，1）上递减，（1，+∞）递增，
∴2＜+，∴2＜-2≤，⇒3＜a≤4②
由①②实数a的取值范围3＜a≤4．