Question

已知函数f（x）=x（x-a）+2lnx+1（a∈R）
（1）当a=5时，求函数f（x）的极值；
（2）若不等式f（x）≥2-a对任意x∈[1，+∞]恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（1）函数的定义域为x＞0，由f（x）=x（x-a）+2lnx+1，知，当a=5时，=，令f′（x）=0，得，由此能求出函数的极大值和极小值．
（2）由f（x）≥2-a，知x（x-a）+2lnx+1≥2-a，故x2+2lnx-1≥a（x-1）．由此入手，能够求出实数a的取值范围．
【解析】
（1）函数的定义域为x＞0，
∵f（x）=x（x-a）+2lnx+1，
∴，
当a=5时，=，
令f′（x）=0，得，

 x  （0，）    （）  2  （2，+∞）
 y′  y′＞0  y′=0  y′＜0  y′=0  y′＞0
 y 递增  极大值  递减  极小值  递增

∴函数极大值，极小值y=-5+2ln2．
（2）∵f（x）≥2-a，
∴x（x-a）+2lnx+1≥2-a，
∴x2+2lnx-1≥a（x-1），（*）
当x=1时，（*）对任意的a成立，
当x＞1时，x2+2lnx-1≥a（x-1）等价于x2-ax+a-1≥-2lnx，
y=x2-ax+a-1和y=-lnx交于点（1，0）．
y=x2-ax+a-1有两个或一个零点，
当y=x2-ax+a-1的另一个零点小于或等于1时，

由图象知（*）式恒成立．
当y=x2-ax+a-1的另一个零点大于1时，
设f（x）=x2-ax+a-1+2lnx，

≥2
=4-a，
当且仅当x=1时，取等号．
当4-a≥0，即a≤4时，f（x）=x2-ax+a-1+2lnx在∈[1，+∞）上是增函数，
不等式f（x）≥2-a对任意x∈[1，+∞）恒成立．
∴实数a的取值范围是{a|a≤4}．