Question

已知函数f（x）=|4x-x²|（x∈R），对于任意的正实数t∈（0，b]，定义：函数f（x）在[0，t]上的最小值为N（t），函数f（x）在[0，t]上的最大值为M（t），现若存在最小正整数m，使得M（t）-N（t）≤m•t对任意的正实数t∈（0，b]成立，则称函数f（x）为区间（0，b]的“m阶收缩函数”
（1）当t∈（0，1]时，试写出N（t），M（t）的表达式，并判断函数f（x）是否为（0，1]上的“m阶收缩函数”，如果是，请写出对应的m的值；（只写出相应结论，不要求证明过程）
（2）若函数f（x）是（0，b]上的4阶收缩函数，求实数b的取值范围．

Answer

（1）函数f（x）=|4x-x2|=|-（x-2）2+4|，根据x∈[0，t]，t∈（0，1]，可得N（t）=0，M（t）=4t-t2，从而可知函数f（x）为区间（0，1]的“4阶收缩函数”
（2）函数f（x）是（0，b]上的4阶收缩函数的意义为：M（t）-N（t）≤4t对任意的正实数t∈（0，b]成立，同时存在t∈（0，b]，使得M（t）-N（t）＞3t成立．下面进行分类讨论：①当0＜b＜2时，t∈（0，b]，N（t）=0，M（t）=4t-t2
成立；②当2≤b＜2+2时，t∈（0，b]，N（t）=0，M（t）=成立；③当b≥2+2时，t∈（0，b]，N（t）=0，M（t）=，0≤t≤8成立，故可求b的取值范围．
【解析】
（1）函数f（x）=|4x-x2|=|-（x-2）2+4|，
∵x∈[0，t]，t∈（0，1]，∴N（t）=0，M（t）=4t-t2
∴M（t）-N（t）=4t-t2=4t（1-t）≤4•t对t∈（0，1]成立，
则函数f（x）为区间（0，1]的“4阶收缩函数”
（2）函数f（x）是（0，b]上的4阶收缩函数的意义为：M（t）-N（t）≤4t对任意的正实数t∈（0，b]成立，同时存在t∈（0，b]，使得M（t）-N（t）＞3t成立
①当0＜b＜2时，t∈（0，b]，N（t）=0，M（t）=4t-t2
∴M（t）-N（t）=4t-t2=4t（1-t）≤4•t成立，同时存在t∈（0，b]，使得M（t）-N（t）＞3t成立
②当2≤b＜2+2时，t∈（0，b]，N（t）=0，M（t）=
∴t∈[0，2]，M（t）-N（t）=4t-t2≤4•t成立
t∈（2，b]，4≤4•t成立，同时存在t∈（0，b]，使得M（t）-N（t）=4t-t2＞3t成立
③当b≥2+2时，t∈（0，b]，N（t）=0，M（t）=
∴t∈[0，2]，M（t）-N（t）=4t-t2≤4•t成立
t∈（2，]，4≤4•t成立，
t，t2-4t≤t，∴0≤t≤8
同时存在t∈（0，b]，使得M（t）-N（t）=4t-t2＞3t成立
∴0＜b≤8时，函数f（x）是（0，b]上的4阶收缩函数．