Question

设无穷等差数列{a_n}的前n项和为S_n，求所有的无穷等差数列{a_n}，使得对于一切正整数k都有成立．

Answer

先由k=1，k=2时，确定首项和公差，再验证每一组解是否符合题意，从而可以找到符合题意的数列
【解析】
若等差数列{an}满足
则当k=1时，有s1=s13，∴a1=0或a1=1或a1=-1
当k=2时，有s8=s2 3，即
（1）当a1=0时，代入上式得
①当a1=0，d=0时，an=0，Sn=0
满足
此时，数列{an}为：0，0，0…
②当时，，

∴不满足题意
③当时，，

∴不满足题意
（2）当a1=1时，代入上式得d=0或d=2或d=-8
①当a1=1，d=0时，an=1，Sn=n
满足
此时，数列{an}为：1，1，1…
②当a1=1，d=2时，an=2n-1，
满足
此时，数列{an}为：1，3，5…
③当a1=1，d=-8时，an=-8n+9，Sn=n（5-4n）

∴不满足题意
（3）当a1=-1时，代入上式得d=0或d=-2或d=8
①当a1=-1，d=0时，an=-1，Sn=-n
满足
此时，数列{an}为：-1，-1，-1…
②当a1=-1，d=-2时，an=-2n+1，
满足
此时，数列{an}为：-1，-3，-5…
③当a1=-1，d=8时，an=8n-9，Sn=n（4n-5）

∴不满足题意
∴满足题意的等差数列{an}有：
①0，0，0…
②1，1，1…
③1，3，5…
④-1，-1，-1…
⑤-1，-3，-5…