Question

定义在R上的奇函数f（x）与偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=a^x-a^-x+2，其中a＞0且a≠1，若，则f（-1）=    ．

Answer

由已知中定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=ax-a-x+2根，据函数奇偶性的性质，得到关于f（x），g（x）的另一个方程f（-x）+g（-x）=a-x-ax+2，并由此求出f（x），g（x）的解析式，再根据g（2012）=a求出a值后，即可得到f（-1）的值．
【解析】
∵f（x）是定义在R上的奇函数，g（x）是定义在R上的偶函数
∴f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x）
∵f（x）+g（x）=ax-a-x+2 ①
∴f（-x）+g（-x）=-f（x）+g（x）=a-x-ax+2 ②
①②联立解得f（x）=ax-a-x，g（x）=2
由已知g（2012）=a=2
∴a=4，f（x）=4x-4-x
∴f（-1）==-
故答案为：-