Question

设函数f（x）=x-a（x+1）ln（x+1），a＞0．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）证明：．

Answer

（1）令f′（x）=1-aln（x+1）-a=0，得，由此能求出f（x）在（-1，]上单调递增，在[，+∞）单调递减．
（2）由（1）知，当a=1时，f（x）在（-1，0]上单调递增，在[0，+∞）上单调递减，故当x∈（-1，0）∪（0，+∞）时，
恒有x-（x+1）ln（x+1）＜0，即．由此能够证明：．
（1）【解析】
∵函数f（x）=x-a（x+1）ln（x+1），a＞0．
∴f′（x）=1-aln（x+1）-a，x＞-1，
令f′（x）=1-aln（x+1）-a=0，
得，
列表，得

 x  （-1，）    （，+∞）
 f′（x） +  0 -
 f（x） ↑  极大值 ↓

∴f（x）在（-1，]上单调递增，在[，+∞）单调递减；
（2）证明：由（1）知，
当a=1时，f（x）在（-1，0]上单调递增，在[0，+∞）上单调递减，
故当x∈（-1，0）∪（0，+∞）时，
恒有f（x）＜f′（0），
即x-（x+1）ln（x+1）＜0，
即ln（x+1）＞，即．
取x=，n∈N+，
则有=
＜（）+1
=
＜
=，
求和得
≤
=
＜
=
=，n∈N+．