Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且S_n=2ⁿ⁺¹-n-2，（n∈N^*）．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）若b_n=（2n+1）a_n+2n+1，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer

（I）先利用n≥2时an=Sn-Sn-1 求出通项公式，再看n=1能否合并即可求出数列{an}的通项公式；
（II）先由（I）的结论求出数列{bn}的通项公式，再用数列求和的错位相减法求数列{bn}的前n项和Tn即可．
【解析】
（I）∵sn=2n+1-n-2，
当n≥2时，an=sn-sn-1=2n-1，
当n=1时，a1=s1=1适合上式
．∴an=2n-1．
（II）由（I）得bn=（2n+1）an+2n+1=（2n+1）2n．
所以Tn=3×2+5×22+7×23+…+（2n-1）2n-1+（2n+1）2n，①
2Tn=3×22+5×23+7×24+…+（2n-1）2n+（2n+1）2n+1    ②．
①-②得-Tn=3×2+2（22+23+…+2n）-（2n+1）2n+1
=6+2×-（2n+1）2n+1
=-2+2n+1-（2n+1）2n+1
=-2-（2n-1）2n+1．
所以Tn=2+（2n-1）2n+1．