Question

已知：函数f（x）=a•lnx+bx²+x在点（1，f（1））处的切线方程为x-y-1=0．
（1）求f（x）的表达式；
（2）设函数y=f（x）+的反函数为p（x），t（x）=p（x）（1-x），求函数t（x）的最大值．

Answer

（1）当x=1时，y=0，代入f（x）=a•lnx+bx2+x，得b=-1．故，由切线方程知f′（1）=1，a=2，由此能求出f（x）的表达式．
（2）由f（x）=2lnx-x2+x，知=lnx，故p（x）=ex．由t（x）=ex（1-x），x∈R，知t′（x）=ex•（1-x）-ex=-xex，由此能求出t（x）的最大值．
【解析】
（1）当x=1时，y=0，
代入f（x）=a•lnx+bx2+x，得b=-1．
∴f（x）=a•lnx-x2+x，
，
由切线方程知f′（1）=1，
∴a=2，
故f（x）=2lnx-x2+x．
（2）∵f（x）=2lnx-x2+x，
∴=lnx，
∴p（x）=ex．
∵t（x）=ex（1-x），x∈R，
∴t′（x）=ex•（1-x）-ex=-xex，
∴当x∈（-∞，0）时，t′（x）＞0，
当x∈（0，+∞）时，t′（x）＜0，
∴t（x）的最大值为t（0）=1．