Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx，f（x+1）为偶函数，函数f（x）的图象与直线y=x相切．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）=[f（x）-k]x在（-∞，+∞）上是单调减函数，那么：
①求k的取值范围；
②是否存在区间[m，n]（m＜n），使得f（x）在区间[m，n]上的值域恰好为[km，kn]？若存在，请求出区间[m，n]；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）欲求求f（x）的解析式，先利用f（x）的解析式求得f（x+1）的解析式，结合f（x+1）为偶函数列出等式，再根据函数f（x）的图象与直线y=x相切，将直线的方程代入二次函数的解析式，利用根的唯一性的条件列出另一个方程．从而求出a，b．问题解决．
（2）①先求函数g（x）的导函数，利用：“函数g（x）=[f（x）-k]x在（-∞，+∞）上是单调减函数”得其导数恒小于等于0，最后结合二次函数的根的判别式即可求k的取值范围；
②对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在区间[m，n]（m＜n），再利用二次函数的单调性，求出m，n的值，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
【解析】
（1）∵f（x+1）为偶函数，∴f（-x+1）=f（x+1），
即a（-x+1）2+b（-x+1）=a（x+1）2+b（x+1）恒成立，
即（2a+b）x=0恒成立，∴2a+b=0，∴b=-2a，∴f（x）=ax2-2ax
∵函数f（x）的图象与直线y=x相切，
∴二次方程ax2-（2a+1）x=0有两相等实数根，
∴△=（2a+1）2-4a×0=0
∴（4分）

（2）①，
∵g（x）在（-∞，+∞）上是单调减函数
∴g′（x）≤0在（-∞，+∞）上恒成立．
∴，得
故k的取值范围为（7分）
②∵，
∴，
∴，，
∴，
∴[m，n]⊆（-∞，1]，
∴f（x）在[m，n]上是单调递增函数（9分）
∴即即（11分）
∵m＜n故当时，[m，n]=[0，2-2k]；
当k＞1时，[m，n]=[2-2k，0]；当k=1时，[m，n]不存在． （13分）