Question

多面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的直观图，主视图，俯视图，左视图如图所示．

（1）求A₁A与平面ABCD所成角的正切值；
（2）求面AA₁D₁与面ABCD所成二面角的余弦值；
（3）求此多面体的体积．

Answer

（1）先寻找直线与平面的所成角，取AB中点H，连接A1H，根据线面所成角的定义可知∠A1AB是A1A与平面ABCD所成的角，在三角形A1AB中求出此角的正切值即可；
（2）先寻找二面角的平面角，取AD中点K，连接D1K，KH，取HK的中点M，取A1D1的中点N，连接MN，AM，AN，根据二面角平面角的定义可知∠MAN就是面AA1D1与面ABCD所成的二面角，然后在三角形MAN中求出此角的余弦值即可．
（3）根据该多面体为长方体削去四个全等的三棱锥，先求出三棱锥的体积，然后利用长方体的体积减去四个全等的三棱锥的体积即可求出所求．
【解析】
（1）由已知图可得，平面A1AB⊥平面ABCD，取AB中点H，连接A1H，
在等腰△A1AB中，有A1H⊥AB，则A1H⊥平面ABCD．
∴∠A1AB是A1A与平面ABCD所成的角．
∵A1H=2AH，∴=2．
故A1A与平面ABCD所成角的正切值为2．
（2）【解析】
取AD中点K，连接D1K，KH，
同理有D1K⊥平面ABCD，即△AHK是△AA1D1在平面ABCD内的射影．
取HK的中点M，取A1D1的中点N，连接MN，AM，AN，
则∠MAN就是面AA1D1与面ABCD所成的二面角．
∵MN=a，，∴．即．
∴面AA1D1与面ABCD所成二面角的余弦值为．
（3）∵该多面体为长方体削去四个全等的三棱锥，
每个三棱锥的体积都为．
∴此多面体的体积．