Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n=3n²+5n，在数列{b_n}中，b₁=8且64b_n+1-b_n=0，是否存在常数c，使对任意的正整数n，a_n+log_cb_n恒为常数m，若存在，求常数c和m的值，若不存在，说明理由．

Answer

利用数列{an}的前n项和为Sn=3n2+5n，数列{bn}中，b1=8且64bn+1-bn=0，求出通项公式，化简an+logcbn的表达式，通过它为常数，推出m，c的值．
【解析】
c=2，m=11满足条件，证明如下
当n=1时，a1=S1=8-----------------（1分）
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=6n+2----（3分）
又n=1时满足上式，故an=6n+2，
又∵b1=8，64bn+1-bn=0
∴{bn}是以8为首项为公比的等比数列
∴---------------------------（6分）
∴an+=6n+2+
=6n+2+（2n-3）
=（6+2）n+（2-3）
∵an+logcbn=m对任意n∈N*恒成立，
∴      
 解得----------（12分）
故c=2，m=11满足条件．-------（13分）．