Question

如图，正方体ABCD-A′B′C′D′长为1，E是BB′的中点，F是B′C′的中点，
（1）求证：D′F∥平面A′DE；
（2）求二面角A-DE-A′的余弦值．

Answer

（1）先建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，进而求出平面A′DE的法向量的坐标以及的坐标，通过其数量积为0即可说明结论；
（2）先求出两个半平面的法向量，再代入向量的夹角计算公式即可．
（1）证明：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD′分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），A（1，0，0），A′（1，0，1），D′（0，0，1）
E（1，1，），F（，1，1），
∴=（，1，0），=（1，0，1），=（1，1，），
设平面A′DE的法向量为=（a，b，c），
则即
从而=（1，-，-1）
•=×1+1×（-）+0×（-）=0，
∴⊥，
所以：D′F∥平面A′DE；
（2）【解析】
设平面ADE的法向量为=（x，y，z），=（1，0，0），=（1，1，）
则即
从而=（0，1，-2）
由（1）知DEA′的法向量为 =（1，-，-1）
∴cos＜，＞===
∴二面角A-DE-A′的余弦值为．