Question

已知直线l：y=kx+1与圆C：x²+y²-4x-6y+12=0相交于M，N两点，
（1）求k的取值范围；
（2）若O为坐标原点，且•=12，求k的值．

Answer

（1）利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d，由相切得到d等于圆的半径r，根据圆的半径等于1列出关于k的方程，求出k的值，然后根据直线与圆的位置关系即可写出直线与圆有两个交点时k的取值范围；
②把直线l的方程与圆的方程联立，消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理及中点坐标公式，分别用坐标表示出和，然后利用列出关于k的方程，求出k的值即可．
【解析】
（1）当直线l与圆相切时，圆心（2，3）到直线l的距离d==r=1，
化简得3k2-8k+3=0，解得：k=，
因为直线l与圆相交于M，N两点，所以实数k的取值范围为：＜k＜；
（2）把直线方程与圆方程联立得，消去y得到（1+k2）x2-4（1+k）x+7=0
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1和x2为（1+k2）x2-4（1+k）x+7=0的两个根，
则MN中点横坐标x1+x2=，x1x2=
=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+1）（kx2+1）=+=12，
即12k2+4k+8=12（1+k2），解得k=1．