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已知两定点,满足条件的点P的轨迹是曲线C,直线y=kx-2与曲线C交于A、B两点...

已知两定点manfen5.com 满分网,满足条件manfen5.com 满分网的点P的轨迹是曲线C,直线y=kx-2与曲线C交于A、B两点,且manfen5.com 满分网
(1)求曲线C的方程;
(2)求直线AB的方程;
(3)若曲线C上存在一点D,使manfen5.com 满分网,求m的值及点D到直线AB的距离.
(1)通过已知条件,满足双曲线的定义,直接求出曲线C的方程; (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),利用直线与双曲线联立方程组,通过弦长公式求出直线的斜率,即可求直线AB的方程; (3)求出A,B,利用,即可求m的值,利用点到直线的距离求解点D到直线AB的距离. 【解析】 (1)由双曲线的定义可知曲线C是以为焦点的双曲线的左半支 且,故b=1, 所以轨迹C的方程是x2-y2=1.(x<0) (2)设A(x1,y1),B(x2,y2), 由题意得方程组消去y得(1-k2)x2+4kx-5=0 又已知直线与曲线C交于A、B两点,故有 解得 ∵ = ∴ 整理得,7k4-23k2-20=0 解得 (舍) 由k2=4,得k=-2,(k=2舍) 于是直线AB的方程为y=-2x-2,即2x+y+2=0. (3)由,解得 不妨设, 由,故有. 将D点坐标代入曲线C的方程,得. 解得, 但当时,点D在双曲线右支上,不合题意, ∴ 点D的坐标为, D到线AB的距离为.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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