Question

已知函数
（1）若a=4，求f（x）在x∈（1，+∞）上的最小值；
（2）解不等式f（x）≤0．

Answer

（1）将a=4代入f（x），整理变形可得f（x）=（x-1）+-4，由基本不等式的性质，可得（x-1）+-4≥2-4，即可得答案；
（2）根据题意，首先对f（x）变形可得，f（x）=，即解≤0即可，按a的取值范围的不同分5种情况讨论，可得答案．
【解析】
（1）若a=4，则f（x）===（x-1）+-4，
当x∈（1，+∞），即x-1＞0时，（x-1）+-4≥2-4，
则f（x）在x∈（1，+∞）上的最小值为2-4；
（2）f（x）==，
f（x）≤0，即≤0，
进而分类讨论，
当a＜1时，由穿线法可得，其解集为x≤a或1＜x≤2，
当a=1时，f（x）=x-2，且x≠1，则其解集为x≤2且x≠1，
当1＜a＜2时，由穿线法可得，其解集为x＜1或a≤x≤2，
当a=2时，f（x）=，则其解集为x＜1，
当a＞2时，由穿线法可得，其解集为x＜1或2≤x≤a；
故不等式f（x）≤0的解集情况为：
当a＜1时，其解集为{x|x≤a或1＜x≤2}，
当a=1时，其解集为{x|x≤2且x≠1}，
当1＜a＜2时，其解集为{x|x＜1或a≤x≤2}，
当a=2时，其解集为{x|x＜1}，
当a＞2时，其解集为{x|x＜1或2≤x≤a}．