Question

设m，n（m≠n）是函数f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的两个极值点．
（1）若m=-1，n=2，求函数f（x）解析式；
（2）若|m|+|n|=2，求b的最大值．

Answer

（1）由f（x）=ax3+bx2-a2x（a＞0），知f'（x）=3ax2+2bx-a2（a＞0）依题意有，由此能求出f（x）．
（2）先对函数进行求导，根据函数f（x）=ax3+bx2-a2x（a＞0）的两个极值点为m，n（m≠n），可以得到△＞0且由韦达定理可得m+n，mn，把等式转化为关于m+n，mn的关系式，求出a、b的关系，把a看成未知数x，求三次函数的最值，利用导数求极值，是b2最大值，开方可求b的最大值．
【解析】
（1）∵f（x）=ax3+bx2-a2x（a＞0），
∴f'（x）=3ax2+2bx-a2（a＞0）
依题意有，
∴．
解得，
∴f（x）=6x3-9x2-36x．
（2）∵f'（x）=3ax2+2bx-a2（a＞0），
依题意，m，n是方程f'（x）=0的两个根，
且|m|+|n|=2，
∴（m+n）2-2mn+2|mn|=8．
∴，
∴b2=3a2（6-a）
∵b2≥0，
∴0＜a≤6，
设p（a）=3a2（6-a），
则p′（a）=-9a2+36a．
由p'（a）＞0得0＜a＜4，
由p'（a）＜0得a＞4．
即：函数p（a）在区间（0，4]上是增函数，
在区间[4，6]上是减函数，
∴当a=4时，p（a）有极大值为96，
∴p（a）在（0，6]上的最大值是96，
∴b的最大值为．